Złota proporcja

Złota proporcja - stosunek dwóch boków wynoszący $1+{\sqrt {5}} \over 2$, czyli w przybliżeniu 1,618.

Wartość złotej liczby φ

Liczba φ
Ułamek łańcuchowy	$[1; 1, 1, 1, \dots]$ $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}$
Ułamek zwykły	$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\varphi=\frac{\color[rgb]{0,0.5,0}a+b}{\color[rgb]{0,0,1}a}=\frac{\color[rgb]{0,0,1}a}{\color[rgb]{1,0,0}b}$

Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika

$1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b}$

czyli

$1+\frac{1}{\varphi}=\varphi$

Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego:

$\varphi^2-\varphi - 1=0$

Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:

$\frac{1\pm\sqrt 5}{2}$

jedno z nich jest dodatnie:

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618033989$

Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:

$\frac{1}{\varphi}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi-1\approx 0{,}618033989$

Związek złotej liczby z liczbami Fibonacciego

Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,\dots$

co daje kolejno:

$\frac 1 1,\frac 2 1,\frac 3 2,\frac 5 3,\frac 8 5,\frac{13}{8},\frac{21}{13},\frac{34}{21},\frac{55}{34},\frac{89}{55},\dots$

Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.

Definicja rekurencyjna powyższego ciągu ma postać:

$\varphi_0=1\;$

$\varphi_{n+1}=1+\frac{1}{\varphi_n}$

W haśle Liczby Fibonacciego można znaleźć dowód, że:

$\varphi_n\rightarrow\varphi$

Ciekawostki

Za pomocą złotej proporcji powstał obraz Mona Lisa autorstwa Leonarda da Vinci.