Złota proporcja - stosunek dwóch boków wynoszący 1,618.
Wartość złotej liczby φ
Edytuj
Korzystając z definicji można obliczyć wartość złotej liczby.
Liczba φ | |
---|---|
Ułamek łańcuchowy | $ [1; 1, 1, 1, \dots] $ $ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}} $ |
Ułamek zwykły | $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $ |
![]() |
$ \varphi=\frac{\color[rgb]{0,0.5,0}a+b}{\color[rgb]{0,0,1}a}=\frac{\color[rgb]{0,0,1}a}{\color[rgb]{1,0,0}b} $ |
Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika
- $ 1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} $
czyli
- $ 1+\frac{1}{\varphi}=\varphi $
Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego:
- $ \varphi^2-\varphi-1=0 $
Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:
- $ \frac{1\pm\sqrt 5}{2} $
jedno z nich jest dodatnie:
- $ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618033989 $
Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:
- $ \frac{1}{\varphi}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi-1\approx 0{,}618033989 $
Związek złotej liczby z liczbami Fibonacciego
Edytuj
Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:
- $ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,\dots $
co daje kolejno:
- $ \frac 1 1,\frac 2 1,\frac 3 2,\frac 5 3,\frac 8 5,\frac{13}{8},\frac{21}{13},\frac{34}{21},\frac{55}{34},\frac{89}{55},\dots $
Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.
Definicja rekurencyjna powyższego ciągu ma postać:
- $ \varphi_0=1\; $
- $ \varphi_{n+1}=1+\frac{1}{\varphi_n} $
W haśle Liczby Fibonacciego można znaleźć dowód, że:
- $ \varphi_n\rightarrow\varphi $
Ciekawostki
Edytuj
Za pomocą złotej proporcji powstał obraz Mona Lisa autorstwa Leonarda da Vinci.
Ta strona zawiera treści z Wikipedii. Oryginalny artykuł był umieszczony pod nazwą Złota proporcja. Lista autorów jest dostępna w historii strony. Tekst z Wikipedii jest udostępniony na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach.