Złota proporcja

Złota proporcja - stosunek dwóch boków wynoszący 1,618.

Wartość złotej liczby φ Edytuj

Korzystając z definicji można obliczyć wartość złotej liczby.

$ \varphi=\frac{\color[rgb]{0,0.5,0}a+b}{\color[rgb]{0,0,1}a}=\frac{\color[rgb]{0,0,1}a}{\color[rgb]{1,0,0}b} $

Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika

$ 1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b} $

czyli

$ 1+\frac{1}{\varphi}=\varphi $

Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego:

$ \varphi^2-\varphi-1=0 $

Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:

$ \frac{1\pm\sqrt 5}{2} $

jedno z nich jest dodatnie:

$ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618033989 $

Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:

$ \frac{1}{\varphi}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi-1\approx 0{,}618033989 $

Związek złotej liczby z liczbami Fibonacciego Edytuj

Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:

$ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,\dots $

co daje kolejno:

$ \frac 1 1,\frac 2 1,\frac 3 2,\frac 5 3,\frac 8 5,\frac{13}{8},\frac{21}{13},\frac{34}{21},\frac{55}{34},\frac{89}{55},\dots $

Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.

Definicja rekurencyjna powyższego ciągu ma postać:

$ \varphi_0=1\; $

$ \varphi_{n+1}=1+\frac{1}{\varphi_n} $

W haśle Liczby Fibonacciego można znaleźć dowód, że:

$ \varphi_n\rightarrow\varphi $

CiekawostkiEdytuj

Za pomocą złotej proporcji powstał obraz Mona Lisa autorstwa Leonarda da Vinci.