FANDOM


Złota proporcja - stosunek dwóch boków wynoszący 1,618.

Wartość złotej liczby φ Edytuj

Korzystając z definicji można obliczyć wartość złotej liczby.

Liczba φ
Ułamek łańcuchowy [1; 1, 1, 1, \dots]

1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}
Ułamek zwykły \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
Golden ratio line2

\varphi=\frac{\color[rgb]{0,0.5,0}a+b}{\color[rgb]{0,0,1}a}=\frac{\color[rgb]{0,0,1}a}{\color[rgb]{1,0,0}b}

Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika

1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b}

czyli

1+\frac{1}{\varphi}=\varphi

Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego:

\varphi^2-\varphi-1=0

Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:

\frac{1\pm\sqrt 5}{2}

jedno z nich jest dodatnie:

\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618033989

Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:

\frac{1}{\varphi}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi-1\approx 0{,}618033989

Związek złotej liczby z liczbami Fibonacciego Edytuj

Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,\dots

co daje kolejno:

\frac 1 1,\frac 2 1,\frac 3 2,\frac 5 3,\frac 8 5,\frac{13}{8},\frac{21}{13},\frac{34}{21},\frac{55}{34},\frac{89}{55},\dots

Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.

Definicja rekurencyjna powyższego ciągu ma postać:

\varphi_0=1\;
\varphi_{n+1}=1+\frac{1}{\varphi_n}

W haśle Liczby Fibonacciego można znaleźć dowód, że:

\varphi_n\rightarrow\varphi

CiekawostkiEdytuj

Za pomocą złotej proporcji powstał obraz Mona Lisa autorstwa Leonarda da Vinci.


Ta strona zawiera treści z Wikipedii. Oryginalny artykuł był umieszczony pod nazwą Złota proporcja. Lista autorów jest dostępna w historii strony. Tekst z Wikipedii jest udostępniony na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.